2017年广西河驰中考填空压轴(矩形与相似三角)

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（2017·河池）如图，在矩形ABCD中，AB=根号2，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是_____．

【图文解析】

       由AD∥BC，得△BEF∽△DAF，进一步得到AF：EF＝AD：BE＝2，因此可设：（如下图示）

       同时图中又有常见的基本图“Rt△斜边上的高”，如下图示，

       分别在Rt△ABF和Rt△ABE中，由三角函数的定义，可得：cos∠1＝AF/AB＝AB/AE，即AB²＝AF×AE，相关数据代入，得：

       再回到CF所在的△BCF，已知BC＝2，BF＝（根号6）/3，同时∠EBF的三角函数值均可求，因此可在△BCF中求也CF的长，为此可过F点作FM⊥BC，垂足为M（常法，转化为解直角三角形问题），如下图示：

       （当然，也可由三角形面积公式得，也可用相似得），类似（或用勾股定理）可得BM＝2/3，所以CE＝BC－BM＝4/3.

       最后在△CMF中，由勾定理，得：

       还可以建立坐标系，通过求直线AE与BD交点F的坐标，再进一步利用勾股定理得到CF的长.

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【反思】借助直角三角形，相似与锐角三角函数的定义其实是相通的，而往往用三角函数的概念解题更方便．

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【拓展】如图，在矩形ABCD中，AB=根号2，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，连接CF并延长，交AB于G，求FG的长．

（本题不给答案，可到对应的群中交流）

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